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<!DOCTYPE html>

<title>Nichtlineares System</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Nichtlineares System</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Nichtlineare Systeme</b> (<b>NL-Systeme</b>) sind Systeme der <a href="Systemtheorie" title="Systemtheorie">Systemtheorie</a>, deren Ausgangssignal <i>nicht immer</i> <a href="Proportionalit%C3%A4t" title="Proportionalität">proportional</a> zum Eingangssignal (Systemreiz) ist. Sie können wesentlich <a href="Komplexes_System" title="Komplexes System">komplexere Systeme</a> sein als <a href="Lineares_System_(Systemtheorie)" title="Lineares System (Systemtheorie)">lineare Systeme</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeine_Grundlagen">Allgemeine Grundlagen</h2></div>

<p>Für nichtlineare Systeme gilt, im Gegensatz zu linearen Systemen, das <a href="Superposition_(Mathematik)" title="Superposition (Mathematik)">Superpositionsprinzip</a> nicht. Das heißt, man kann nicht von mehreren bekannten Systemreiz-Systemantwort-Paaren auf eine unbekannte Systemantwort zu gegebenem Systemreiz schließen. Ferner unterscheidet man die Nichtlinearität eines Systems in <i>statische</i>, <i>dynamische</i>, <i>einwertige</i> und <i>mehrwertige</i> Nichtlinearität. Da es zu nichtlinearen Systemen keine geschlossene mathematische Theorie gibt, gibt es auch keine allgemeine Methode zur Analyse unbekannter nichtlinearer Systeme.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Allgemein kann man ein mathematisches Modell eines nichtlinearen Systems mit innerem Zustand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}" loading="lazy"></span>, äußeren Einflüssen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b375df3b65d282f8715835dc91ccb22f46993959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)}" loading="lazy"></span> und Beobachtungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)}" loading="lazy"></span> darstellen als

</p>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A{\bigl (}t,x(t),u(t){\bigr )}\\y(t)&=C{\bigl (}t,x(t),u(t){\bigr )},\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75942df365340632192536ace92dfa6c59bd9f34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:23.236ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A{\bigl (}t,x(t),u(t){\bigr )}\\y(t)&=C{\bigl (}t,x(t),u(t){\bigr )},\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span> die das System beschreibenden, nichtlinearen Funktionen sind.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Statische_nichtlineare_Systeme">Statische nichtlineare Systeme</h2></div>

<p>Unter statischen nichtlinearen Systemen versteht man solche, die ohne Zeitverzögerung auf einen Systemreiz reagieren. Zum Beispiel wird die <a href="Diode" title="Diode">Diode</a> im Allgemeinen (Ausnahme etwa bei schnellen Schaltvorgängen) als statisches Bauteil angesehen. Ihre Spannung-Strom-<a href="Kennlinie" title="Kennlinie">Kennlinie</a> folgt einer <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a>; sie wird in verschiedenen Anwendungen idealisiert als stückweise linear behandelt, bleibt aber im systemtheoretischen Sinne nichtlinear. Statische Systeme können durch eine statische Kennlinie beschrieben werden, wie sie in den Abbildungen gezeigt werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Dynamische_nichtlineare_Systeme">Dynamische nichtlineare Systeme</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Dynamisches_System" title="Dynamisches System">Dynamisches System</a></i></div>

<p>Unter dynamischen nichtlinearen Systemen versteht man solche, die auch Speicherelemente und damit ein „Gedächtnis“ besitzen. Dadurch wird die Systemantwort nicht vom augenblicklichen Wert des Systemreizes allein bestimmt. Sie hängt auch von der Vorgeschichte, also von der Stärke der vorangehenden Erregung ab.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Charakterisierung_bezüglich_des_Frequenzverhaltens"><span id="Charakterisierung_bez.C3.BCglich_des_Frequenzverhaltens"></span>Charakterisierung bezüglich des Frequenzverhaltens</h2></div>

<p>Bei Erregung linearer Systeme mit einem Sinus-Signal erhält man am Ausgang wiederum ein sinusförmiges Signal derselben Frequenz, jedoch mit veränderter Phasenlage und <a href="Amplitude" title="Amplitude">Amplitude</a>.

Diese Eigenschaft weisen nichtlineare Systeme im Allgemeinen nicht auf. Nichtlineare Systeme können an ihrem Systemausgang Frequenzanteile aufweisen, welche im Eingangssignal nicht enthalten sind (<a href="Verzerrung_(Elektrotechnik)" title="Verzerrung (Elektrotechnik)">Verzerrung</a>).

</p><p>Beispiele aus der Elektrotechnik sind:

</p>

<ul><li>Wenn ein nichtlinearer <a href="Verst%C3%A4rker_(Elektrotechnik)" title="Verstärker (Elektrotechnik)">Verstärker</a> mit einer einzigen Sinusspannung als Eingangsspannung gespeist wird, erzeugt er am Ausgang neben einer Sinusspannung zusätzlich <a href="Harmonische" title="Harmonische">Harmonische</a>. Deren Anteile werden mit zunehmender <a href="%C3%9Cbersteuern_(Signalverarbeitung)" title="Übersteuern (Signalverarbeitung)">Übersteuerung</a> größer.</li>

<li>Wenn der Verstärker mit einer Überlagerung zweier oder mehrerer Sinusspannungen unterschiedlicher Frequenz gespeist wird, tritt zusätzlich <a href="Intermodulation" title="Intermodulation">Intermodulation</a> auf, und es entstehen Kombinationsfrequenzen.</li>

<li>Sollen mehrere <a href="Modulation_(Technik)" title="Modulation (Technik)">modulierte</a> Wechselspannungen gleichzeitig verstärkt werden, kann es zu <a href="Kreuzmodulation" title="Kreuzmodulation">Kreuzmodulation</a> kommen. Dann übernimmt eine Wechselspannung teilweise die Modulation der anderen (<a href="Luxemburgeffekt" title="Luxemburgeffekt">Luxemburgeffekt</a>).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Nichtlineare_Dynamik" title="Nichtlineare Dynamik">Nichtlineare Dynamik</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Mathukumalli Vidyasagar: <i>Nonlinear systems analysis</i> SIAMm Philadelphia 2008, ISBN 978-0-89871-526-2.</li>

<li>Muthuswamy Lakshmanan et al.: <i>Nonlinear dynamics - integrability, chaos, and patterns.</i> Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43908-0.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Holk Cruse: <i>Biologische Kybernetik.</i> Verlag Chemie GmbH, Weinheim 1981, ISBN 3-527-25911-2.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Dezsö Varjú: <i>Systemtheorie.</i> Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08086-4.</span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&query=4042110-7">Literatur über Nichtlineares System</a> im Katalog der <a href="Deutsche_Nationalbibliothek" title="Deutsche Nationalbibliothek">Deutschen Nationalbibliothek</a></li></ul>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4042110-7">4042110-7</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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